integral of 9/((sqrt(4+x^2))^3)

Lösung

\int \frac{9}{( 4 + x ^{2} ) ^{3}} d x

\frac{9 x}{4 4 + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{9}{( 4 + x ^{2} ) ^{3}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int \frac{1}{( 4 + x ^{2} ) ^{3}} d x

Wende Exponentenregel an:

(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}

(4 + x^{2})^{3} = (4 + x^{2})^{\frac{3}{2}}

= 9 \cdot \int \frac{1}{( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Multipliziere mit der Konjugation von

4 + x^{2} : \frac{16 - x ^{4}}{4 - x ^{2}}

= 9 \cdot \int \frac{1}{( \frac{16 - x ^{4}}{4 - x ^{2}} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende integrale Substitution an

= 9 \cdot \int \frac{1}{4 ( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 9 \cdot \frac{1}{4} \cdot \int cos (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (v) d v = sin (v)

= 9 \cdot \frac{1}{4} sin (v)

Ersetze zurück

= 9 \cdot \frac{1}{4} sin (arctan (\frac{x}{2}))

Vereinfache

9 \cdot \frac{1}{4} sin (arctan (\frac{x}{2})) : \frac{9 x}{4 4 + x ^{2}}

= \frac{9 x}{4 4 + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{9 x}{4 4 + x ^{2}} + C