integral of ((2x+5))/(x^2-4x+7)

解

\int \frac{( 2 x + 5 )}{x ^{2} - 4 x + 7} d x

ln \frac{1}{3} (x - 2)^{2} + 1 + 33 arctan (\frac{1}{3} (x - 2)) + C

解答ステップ

\int \frac{2 x + 5}{x ^{2} - 4 x + 7} d x

拡張

\frac{2 x + 5}{x ^{2} - 4 x + 7} : \frac{2 x}{x ^{2} - 4 x + 7} + \frac{5}{x ^{2} - 4 x + 7}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2 x}{x ^{2} - 4 x + 7} d x + \int \frac{5}{x ^{2} - 4 x + 7} d x

\int \frac{2 x}{x ^{2} - 4 x + 7} d x = ln \frac{1}{3} (x - 2)^{2} + 1 + \frac{4}{3} arctan (\frac{1}{3} (x - 2))

\int \frac{5}{x ^{2} - 4 x + 7} d x = \frac{5}{3} arctan (\frac{1}{3} (x - 2))

= ln \frac{1}{3} (x - 2)^{2} + 1 + \frac{4}{3} arctan (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{5}{3} arctan (\frac{1}{3} (x - 2))

類似した元を足す:

\frac{4}{3} arctan (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{5}{3} arctan (\frac{1}{3} (x - 2)) = 33 arctan (\frac{1}{3} (x - 2))

= ln \frac{1}{3} (x - 2)^{2} + 1 + 33 arctan (\frac{1}{3} (x - 2))

定数を解答に追加する

= ln \frac{1}{3} (x - 2)^{2} + 1 + 33 arctan (\frac{1}{3} (x - 2)) + C