integral of 1/((sqrt(x^2+5))^3)

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 5 ) ^{3}} d x

\frac{x}{5 5 + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 5 ) ^{3}} d x

Wende Exponentenregel an:

(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}

(x^{2} + 5)^{3} = (x^{2} + 5)^{\frac{3}{2}}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 5 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Multipliziere mit der Konjugation von

x^{2} + 5 : \frac{x ^{4} - 25}{x ^{2} - 5}

= \int \frac{1}{( \frac{x ^{4} - 25}{x ^{2} - 5} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{5 ( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{5} \cdot \int cos (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{5} sin (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{5} sin (arctan (\frac{x}{5}))

Vereinfache

\frac{1}{5} sin (arctan (\frac{x}{5})) : \frac{x}{5 5 + x ^{2}}

= \frac{x}{5 5 + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{5 5 + x ^{2}} + C

\int \frac{2 + x}{x ^{2} + 4} d x

\int ln (\frac{x}{y}) d x

\int x \cdot cos^{2} (6 \cdot x) d x

\int cos (x y) - x y sin (x y) d x

\int (\frac{( x ^{2} - 1 )}{x})^{2} d x