integral de 1/(e^{2x)-e^{-2x}}

Solução

\int \frac{1}{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}} d x

\frac{1}{4} ln (tanh (x)) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}} d x

Aplicar integração por substituição

= \int \frac{1}{2 ( e ^{u} - e ^{- u} )} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{e ^{u} - e ^{- u}} d u

Reeecreva usando identidades trigonométricas

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{2 sinh ( u )} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sinh ( u )} d u

Use a identidade hiperbólica:

\frac{1}{sinh ( x )} = csch (x)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int csch (u) d u

Aplicar as regras de integração:

\int csch (u) d u = ln (tanh (\frac{u}{2}))

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{u}{2}))

Substituir na equação

u = 2 x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{2 x}{2}))

Simplificar

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{2 x}{2})) : \frac{1}{4} ln (tanh (x))

= \frac{1}{4} ln (tanh (x))

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{4} ln (tanh (x)) + C