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integral of e^{x/4}sin(x/8)cos(x/8)

Lösung

\int e^{\frac{x}{4}} sin (\frac{x}{8}) cos (\frac{x}{8}) d x

e^{\frac{x}{4}} sin (\frac{x}{4}) - e^{\frac{x}{4}} cos (\frac{x}{4}) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{\frac{x}{4}} sin (\frac{x}{8}) cos (\frac{x}{8}) d x

Wende U-Substitution an

= \int 8 e^{2 u} cos (u) sin (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \int e^{2 u} cos (u) sin (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 8 \cdot \int \frac{1}{2} e^{2 u} sin (2 u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int e^{2 u} sin (2 u) d u

Wende die partielle Integration an

= 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{2 u} cos (2 u) - \int - e^{2 u} cos (2 u) d u)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{2 u} cos (2 u) - (- \int e^{2 u} cos (2 u) d u))

Wende die partielle Integration an

= 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{2 u} cos (2 u) - (- (\frac{1}{2} e^{2 u} sin (2 u) - \int e^{2 u} sin (2 u) d u)))

Deshalb

8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int e^{2 u} sin (2 u) d u = 8 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{2 u} cos (2 u) - (- (\frac{1}{2} e^{2 u} sin (2 u) - \int e^{2 u} sin (2 u) d u)))

Isoliere

\int e^{2 u} sin (2 u) d u

= 8 \cdot \frac{1}{2} (\frac{e ^{2 u} sin ( 2 u )}{4} - \frac{e ^{2 u} cos ( 2 u )}{4})

Setze in

u = \frac{x}{8}

ein

= 8 \cdot \frac{1}{2} (\frac{e ^{2 \cdot \frac{x}{8}} sin ( 2 \cdot \frac{x}{8} )}{4} - \frac{e ^{2 \cdot \frac{x}{8}} cos ( 2 \cdot \frac{x}{8} )}{4})

Vereinfache

8 \cdot \frac{1}{2} (\frac{e ^{2 \cdot \frac{x}{8}} sin ( 2 \cdot \frac{x}{8} )}{4} - \frac{e ^{2 \cdot \frac{x}{8}} cos ( 2 \cdot \frac{x}{8} )}{4}) : e^{\frac{x}{4}} sin (\frac{x}{4}) - e^{\frac{x}{4}} cos (\frac{x}{4})

= e^{\frac{x}{4}} sin (\frac{x}{4}) - e^{\frac{x}{4}} cos (\frac{x}{4})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= e^{\frac{x}{4}} sin (\frac{x}{4}) - e^{\frac{x}{4}} cos (\frac{x}{4}) + C

\int (1 + 2 x)^{5} d x

\int \frac{x}{( 5 x ^{2} - 4 ) ^{4}} d x

\int \frac{sin ^{5} ( x ) - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} d x

\int 2 x^{3} (ln (x^{2})) d x

\int (8 x^{9} - 3 x^{6} + 12 x^{3}) d x