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integral of x^2*sin(ln(x))

解答

\int x^{2} \cdot sin (ln (x)) d x

解答

- \frac{1}{10} x^{3} cos (ln (x)) + \frac{3}{10} x^{3} sin (ln (x)) + C

求解步骤

\int x^{2} sin (ln (x)) d x

使用换元积分法

= \int e^{3 u} sin (u) d u

使用分布积分法

= - e^{3 u} cos (u) - \int - 3 e^{3 u} cos (u) d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{3 u} cos (u) - (- 3 \cdot \int e^{3 u} cos (u) d u)

使用分布积分法

= - e^{3 u} cos (u) - (- 3 (e^{3 u} sin (u) - \int e^{3 u} \cdot 3 sin (u) d u))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{3 u} cos (u) - (- 3 (e^{3 u} sin (u) - 3 \cdot \int e^{3 u} sin (u) d u))

因此

\int e^{3 u} sin (u) d u = - e^{3 u} cos (u) - (- 3 (e^{3 u} sin (u) - 3 \cdot \int e^{3 u} sin (u) d u))

整理

\int e^{3 u} sin (u) d u

= - \frac{e ^{3 u} cos ( u )}{10} + \frac{3 e ^{3 u} sin ( u )}{10}

u = ln (x)

代回

= - \frac{e ^{3 l n (x)} cos ( ln ( x ) )}{10} + \frac{3 e ^{3 l n (x)} sin ( ln ( x ) )}{10}

化简

- \frac{e ^{3 l n (x)} cos ( ln ( x ) )}{10} + \frac{3 e ^{3 l n (x)} sin ( ln ( x ) )}{10} : - \frac{1}{10} x^{3} cos (ln (x)) + \frac{3}{10} x^{3} sin (ln (x))

= - \frac{1}{10} x^{3} cos (ln (x)) + \frac{3}{10} x^{3} sin (ln (x))

解答补常数

= - \frac{1}{10} x^{3} cos (ln (x)) + \frac{3}{10} x^{3} sin (ln (x)) + C

作图

流行的例子

integral of (x^4)/3+5/(x^3)

\int \frac{x ^{4}}{3} + \frac{5}{x ^{3}} d x

integral of 2/((x+1)(3x+5))

\int \frac{2}{( x + 1 ) ( 3 x + 5 )} d x

integral of sqrt(6-4x)

\int 6 - 4 x d x

integral of 12x^{5/7}+5x^{-6/7}

\int 12 x^{\frac{5}{7}} + 5 x^{- \frac{6}{7}} d x

integral of (7x+3)^5

\int (7 x + 3)^{5} d x