integral of (x^3+1)e^x

解

\int (x^{3} + 1) e^{x} d x

e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 5 e^{x} + C

解答ステップ

\int (x^{3} + 1) e^{x} d x

拡張

(x^{3} + 1) e^{x} : e^{x} x^{3} + e^{x}

= \int e^{x} x^{3} + e^{x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{x} x^{3} d x + \int e^{x} d x

\int e^{x} x^{3} d x = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}))

\int e^{x} d x = e^{x}

= x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})) + e^{x}

簡素化

x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x})) + e^{x} : e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 5 e^{x}

= e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 5 e^{x}

定数を解答に追加する

= e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x - 5 e^{x} + C