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integral de 1/(3sqrt(x)+2)

Solução

\int \frac{1}{3 x + 2} d x

\frac{2}{9} (3 x - 2 ln \frac{3 x}{2} + 1 + 2) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{3 x + 2} d x

3 x + 2 = 2 (\frac{3 x}{2} + 1)

= \int \frac{1}{2 ( \frac{3 x}{2} + 1 )} d x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{3 x}{2} = \frac{9 x}{4}

= \int \frac{1}{2 ( \frac{9 x}{4} + 1 )} d x

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{\frac{9 x}{4} + 1} d x

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{4}{9 ( u + 1 )} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \int \frac{1}{u + 1} d u

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \int \frac{2 ( v - 1 )}{v} d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot 2 \cdot \int \frac{v - 1}{v} d v

Expandir

\frac{v - 1}{v} : 1 - \frac{1}{v}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot 2 \cdot \int 1 - \frac{1}{v} d v

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot 2 (\int 1 d v - \int \frac{1}{v} d v)

\int 1 d v = v

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot 2 (v - ln ∣ v ∣)

Substituir na equação

= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot 2 (\frac{9 x}{4} + 1 - ln \frac{9 x}{4} + 1)

Simplificar

\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot 2 (\frac{9 x}{4} + 1 - ln \frac{9 x}{4} + 1) : \frac{2}{9} (3 x - 2 ln \frac{3 x}{2} + 1 + 2)

= \frac{2}{9} (3 x - 2 ln \frac{3 x}{2} + 1 + 2)

Adicionar uma constante à solução

= \frac{2}{9} (3 x - 2 ln \frac{3 x}{2} + 1 + 2) + C

\int \frac{15}{x ^{2}} d x

\int (x^{3} + \frac{1}{x x}) d x

\int \frac{x}{2} cos (2 x) d x

\int \frac{1}{4} sin (x) d x

\int \frac{( x + 2 ) ^{3}}{x ^{2}} d x