интеграл от (e^x)/(x+2)

Решение

\int \frac{e ^{x}}{x + 2} d x

\frac{1}{e ^{2}} Ei (- (- x - 2)) + C

Шаги решения

\int \frac{e ^{x}}{x + 2} d x

Найдите множитель

x + 2 : - (- x - 2)

= \int \frac{e ^{x}}{- ( - x - 2 )} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{e ^{x}}{- x - 2} d x

Применить подстановку интеграла

= - \int - \frac{e ^{- u - 2}}{u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- \int \frac{e ^{- u - 2}}{u} d u)

Упростите

e^{- u - 2} : e^{- u} e^{- 2}

= - (- \int \frac{e ^{- u} e ^{- 2}}{u} d u)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- e^{- 2} \cdot \int \frac{e ^{- u}}{u} d u)

Примените правило возведения в степень:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= - (- \frac{1}{e ^{2}} \cdot \int \frac{e ^{- u}}{u} d u)

Применить подстановку интеграла

= - (- \frac{1}{e ^{2}} \cdot \int \frac{e ^{v}}{v} d v)

Используйте неэлементарный интеграл:

\int \frac{e ^{x}}{x} d x = Ei (x)

= - (- \frac{1}{e ^{2}} Ei (v))

Делаем обратную замену

= - (- \frac{1}{e ^{2}} Ei (- (- x - 2)))

После упрощения получаем

= \frac{1}{e ^{2}} Ei (- (- x - 2))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{e ^{2}} Ei (- (- x - 2)) + C