integral of 1/((9x^2+1)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( 9 x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{( 1 + 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 9 x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{3 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{3} sin (u)

Setze in

u = arctan (3 x)

ein

= \frac{1}{3} sin (arctan (3 x))

Vereinfache

\frac{1}{3} sin (arctan (3 x)) : \frac{x}{( 1 + 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{( 1 + 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{( 1 + 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{u}{9} d u

\int 5^{\frac{1}{2}} d x

\int 2 x^{2} \cdot e^{x} d x

\int x (1 + x^{2}) arccot (x) d x

\int tan^{2} (x) (tan^{2} (x) + 1) sec^{2} (x) d x