integral of 1/(e^{-x)-e^x}

Lösung

\int \frac{1}{e ^{- x} - e ^{x}} d x

- \frac{1}{2} ln (tanh (- \frac{x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{- x} - e ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{e ^{u} - e ^{- u}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{e ^{u} - e ^{- u}} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= - \int \frac{1}{2 sinh ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sinh ( u )} d u

Hyperbolische Identität anwenden:

\frac{1}{sinh ( x )} = csch (x)

= - \frac{1}{2} \cdot \int csch (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int csch (u) d u = ln (tanh (\frac{u}{2}))

= - \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{u}{2}))

Setze in

u = - x

ein

= - \frac{1}{2} ln (tanh (\frac{- x}{2}))

Vereinfache

= - \frac{1}{2} ln (tanh (- \frac{x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} ln (tanh (- \frac{x}{2})) + C

\int \frac{c}{1 + y ^{2}} d y

\int \frac{5}{x ln ( x ^{3} )} d x

\int \frac{1}{2 ( x - 3 ) ^{2} + 1} d x

\int x x + \frac{1}{x ^{3}} d x

\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{ln ( x )} d x