integral from 0 to 2pi of xcos(nx)

解

\int_{0}^{2 π} x cos (n x) d x

\frac{2 π sin ( 2 πn )}{n}

解答ステップ

\int_{0}^{2 π} x cos (n x) d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{n \cdot 2 π} \frac{u cos ( u )}{n ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{n ^{2}} \cdot \int_{0}^{n \cdot 2 π} u cos (u) d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{n ^{2}} [u sin (u) - \int sin (u) d u]_{0}^{2 πn}

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{1}{n ^{2}} [u sin (u) - (- cos (u))]_{0}^{2 πn}

簡素化

= \frac{1}{n ^{2}} [u sin (u) + cos (u)]_{0}^{2 πn}

限度を計算する:

2 πn sin (2 πn)

= \frac{1}{n ^{2}} \cdot 2 πn sin (2 πn)

簡素化

= \frac{2 π sin ( 2 πn )}{n}