integral from 0 to L of sin((npix)/L)

解

\int_{0}^{L} sin (\frac{nπ x}{L}) d x

\frac{L ( - ( - 1 ) ^{n} + 1 )}{πn}

解答ステップ

\int_{0}^{L} sin (\frac{nπ x}{L}) d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{n L π} \frac{sin ( \frac{u}{L} )}{πn} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{πn} \cdot \int_{0}^{n L π} sin (\frac{u}{L}) d u

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{πn} \cdot \int_{0}^{πn} sin (v) L d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{πn} L \cdot \int_{0}^{πn} sin (v) d v

共通積分を使用する:

\int sin (v) d v = - cos (v)

= \frac{1}{πn} L [- cos (v)]_{0}^{πn}

限度を計算する:

- (- 1)^{n} + 1

= \frac{1}{πn} L (- (- 1)^{n} + 1)

簡素化

= \frac{L ( - ( - 1 ) ^{n} + 1 )}{πn}