integral from 0 to x+y of (x+y+z)

解

\int_{0}^{x + y} (x + y + z) d z

x^{2} + 2 x y + y^{2} + \frac{( x + y ) ^{2}}{2}

解答ステップ

\int_{0}^{x + y} x + y + z d z

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int_{0}^{x + y} x d z + \int_{0}^{x + y} y d z + \int_{0}^{x + y} z d z

\int_{0}^{x + y} x d z = x (x + y)

\int_{0}^{x + y} y d z = y (x + y)

\int_{0}^{x + y} z d z = \frac{( x + y ) ^{2}}{2}

= x (x + y) + y (x + y) + \frac{( x + y ) ^{2}}{2}

簡素化

x (x + y) + y (x + y) + \frac{( x + y ) ^{2}}{2} : x^{2} + 2 x y + y^{2} + \frac{( x + y ) ^{2}}{2}

= x^{2} + 2 x y + y^{2} + \frac{( x + y ) ^{2}}{2}