integral from 0 to 1 of xe^{-sx}

解

\int_{0}^{1} x e^{- s x} d x

\frac{- s e ^{- s} - e ^{- s} + 1}{s ^{2}}

解答ステップ

\int_{0}^{1} x e^{- s x} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{- s} \frac{e ^{u} u}{s ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{s ^{2}} \cdot \int_{0}^{- s} e^{u} u d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{s ^{2}} [e^{u} u - \int e^{u} d u]_{0}^{- s}

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{s ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- s}

簡素化

\frac{1}{s ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- s} : \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- s}}{s ^{2}}

= \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- s}}{s ^{2}}

限度を計算する:

- s e^{- s} - e^{- s} + 1

= \frac{- s e ^{- s} - e ^{- s} + 1}{s ^{2}}