integral from-1 to 1 of |x|cos(npix)

解

\int_{- 1}^{1} ∣ x ∣ cos (nπ x) d x

- \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{π ^{2} n ^{2}} + \frac{( - 1 ) ^{n} - 1}{π ^{2} n ^{2}}

解答ステップ

\int_{- 1}^{1} ∣ x ∣ cos (nπ x) d x

絶対数を排除する

= \int_{- 1}^{0} (- x) cos (nπ x) d x + \int_{0}^{1} x cos (nπ x) d x

\int_{- 1}^{0} (- x) cos (nπ x) d x = - \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{π ^{2} n ^{2}}

\int_{0}^{1} x cos (nπ x) d x = \frac{( - 1 ) ^{n} - 1}{π ^{2} n ^{2}}

= - \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{π ^{2} n ^{2}} + \frac{( - 1 ) ^{n} - 1}{π ^{2} n ^{2}}