integral from 0 to 4 of e^{-st}t

解答

\int_{0}^{4} e^{- s t} t d t

\frac{- 4 s e ^{- 4 s} - e ^{- 4 s} + 1}{s ^{2}}

求解步骤

\int_{0}^{4} e^{- s t} t d t

使用换元积分法

= \int_{0}^{- s \cdot 4} \frac{e ^{u} u}{s ^{2}} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{s ^{2}} \cdot \int_{0}^{- s \cdot 4} e^{u} u d u

使用分布积分法

= \frac{1}{s ^{2}} [e^{u} u - \int e^{u} d u]_{0}^{- 4 s}

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{s ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- 4 s}

化简

\frac{1}{s ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- 4 s} : \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- 4 s}}{s ^{2}}

= \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- 4 s}}{s ^{2}}

带入上下限计算后得:

- 4 s e^{- 4 s} - e^{- 4 s} + 1

= \frac{- 4 s e ^{- 4 s} - e ^{- 4 s} + 1}{s ^{2}}