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人気のある微分積分 >

integral from 0 to 1 of sqrt(x)sqrt(1-x)

解

\int_{0}^{1} x 1 - x d x

解

\frac{π}{8}

+1

十進法表記

0.39269 \dots

解答ステップ

\int_{0}^{1} x 1 - x d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{1} 2 u^{2} 1 - u^{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{1} u^{2} 1 - u^{2} d u

三角関数による置換を適用する

= 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} (v) cos^{2} (v) d v

三角関数の公式を使用して書き換える

= 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - cos ( 4 v )}{8} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 - cos (4 v) d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{8} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 d v - \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (4 v) d v)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 d v = \frac{π}{2}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (4 v) d v = 0

= 2 \cdot \frac{1}{8} (\frac{π}{2} - 0)

簡素化

2 \cdot \frac{1}{8} (\frac{π}{2} - 0) : \frac{π}{8}

= \frac{π}{8}

グラフ

人気の例

integral from 0 to 2 of re^{-r^2}

\int_{0}^{2} r e^{- r^{2}} d r

integral from 0 to pi of-2sin(x)

\int_{0}^{π} - 2 sin (x) d x

integral from 1 to 3 of (15+2x^3)/(x^4)

\int_{1}^{3} \frac{15 + 2 x ^{3}}{x ^{4}} d x

integral from 0 to 2 of 1-|x-1|

\int_{0}^{2} 1 - ∣ x - 1 ∣ d x

integral from 0 to pi/2 of cos(x)*sin(x)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (x) \cdot sin (x) d x