интеграл с 0 до pi от sqrt(1-cos(θ))

Решение

\int_{0}^{π} 1 - cos (θ) d θ

22

десятичными цифрами

2.82842 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{π} 1 - cos (θ) d θ

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int_{0}^{π} 2 sin^{2} (\frac{θ}{2}) d θ

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{π} sin^{2} (\frac{θ}{2}) d θ

Примените правило возведения в степень:

a^{2} = ∣ a ∣

= 2 \cdot \int_{0}^{π} sin (\frac{θ}{2}) d θ

Исключить абсолютные величины

= 2 \cdot \int_{0}^{π} sin (\frac{θ}{2}) d θ

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (u) \cdot 2 d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin (u) d u

Использовать общий интеграл:

\int sin (u) d u = - cos (u)

= 2 \cdot 2 [- cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}

Вычислить границы:

1

= 2 \cdot 2 \cdot 1

После упрощения получаем

= 22