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integral 1/(sqrt(1+e^{-2x))}

Lösung

integral

\frac{1}{1 + e ^{- 2 x}}

\frac{1}{2} ln 1 + e^{- 2 x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{- 2 x} - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 + e ^{- 2 x}} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{2 1 + e ^{u}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1 + e ^{u}} d u

Wende U-Substitution an

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2}{v ^{2} - 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot 2 (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= - \frac{1}{2} \cdot 2 (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= - \frac{1}{2} \cdot 2 (- (\frac{ln 1 + e ^{- 2 x} + 1}{2} - \frac{ln 1 + e ^{- 2 x} - 1}{2}))

Vereinfache

- \frac{1}{2} \cdot 2 (- (\frac{ln 1 + e ^{- 2 x} + 1}{2} - \frac{ln 1 + e ^{- 2 x} - 1}{2})) : \frac{1}{2} ln 1 + e^{- 2 x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{- 2 x} - 1

= \frac{1}{2} ln 1 + e^{- 2 x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{- 2 x} - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln 1 + e^{- 2 x} + 1 - \frac{1}{2} ln 1 + e^{- 2 x} - 1 + C

in t e g r a l (a^{2} - x^{2})^{\frac{1}{2}}

in t e g r a l x^{3} + x + 1

in t e g r a l \frac{x ^{3}}{( x - 1 )}

in t e g r a l \frac{1}{( a - x ) ^{3}}

in t e g r a l \frac{sin ( x )}{cos ^{5} ( x )}