integral of (e^xsin(x))/(sec(x))

Lời Giải

\int \frac{e ^{x} sin ( x )}{sec ( x )} d x

- \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10} + C

Các bước giải pháp

\int \frac{e ^{x} sin ( x )}{sec ( x )} d x

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

\frac{1}{sec ( x )} = cos (x)

= \int e^{x} sin (x) cos (x) d x

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

= \int \frac{1}{2} e^{x} sin (2 x) d x

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{x} sin (2 x) d x

Áp dụng tích phân từng phần

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - \int - \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) d x)

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{x} cos (2 x) d x))

Áp dụng tích phân từng phần

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} (e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) - \int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x)))

Vì vậy

\int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{x} cos (2 x) - (- \frac{1}{2} (e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) - \int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x)))

Cô lập

\int e^{x} \frac{1}{2} sin (2 x) d x

= - \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10}

Thêm một hằng số vào Lời giải

= - \frac{e ^{x} cos ( 2 x )}{5} + \frac{e ^{x} sin ( 2 x )}{10} + C