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integral of (e^{-x}-x)^2

解答

\int (e^{- x} - x)^{2} d x

解答

- \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3} + C

求解步骤

\int (e^{- x} - x)^{2} d x

- x = (- 1) x

= \int (e^{- x} + (- 1) x)^{2} d x

因式分解

e^{- x} + (- 1) x : - (- e^{- x} - (- 1) x)

= \int (- (- e^{- x} - (- 1) x))^{2} d x

化简

(- (- e^{- x} - (- 1) x))^{2} : (- e^{- x} + x)^{2}

= \int (- e^{- x} + x)^{2} d x

使用换元积分法

= \int - e^{2 u} - 2 e^{u} u - u^{2} d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int e^{2 u} d u - \int 2 e^{u} u d u - \int u^{2} d u

\int e^{2 u} d u = \frac{1}{2} e^{2 u}

\int 2 e^{u} u d u = 2 (e^{u} u - e^{u})

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

= - \frac{1}{2} e^{2 u} - 2 (e^{u} u - e^{u}) - \frac{u ^{3}}{3}

u = - x

代回

= - \frac{1}{2} e^{2 (- x)} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x}) - \frac{( - x ) ^{3}}{3}

化简

- \frac{1}{2} e^{2 (- x)} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x}) - \frac{( - x ) ^{3}}{3} : - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3}

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3}

解答补常数

= - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}) + \frac{x ^{3}}{3} + C

作图

流行的例子

integral of (1-cos(2y))/(1+cos(2y))

\int \frac{1 - cos ( 2 y )}{1 + cos ( 2 y )} d y

integral of (2x^2+3)^2*5x

\int (2 x^{2} + 3)^{2} \cdot 5 x d x

integral of 1/(xsqrt(4x^2-5))

\int \frac{1}{x 4 x ^{2} - 5} d x

integral of 4sqrt(1-25x^2)

\int 4 1 - 25 x^{2} d x

integral of 5^{3x+2}+4^{5-x}

\int 5^{3 x + 2} + 4^{5 - x} d x