integral of (9(y-1))/(y^2(y^2-9))

解答

\int \frac{9 ( y - 1 )}{y ^{2} ( y ^{2} - 9 )} d y

- ln ∣ y ∣ - \frac{1}{y} + \frac{2}{3} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{3} ln ∣ y - 3 ∣ + C

求解步骤

\int \frac{9 ( y - 1 )}{y ^{2} ( y ^{2} - 9 )} d y

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int \frac{y - 1}{y ^{2} ( y ^{2} - 9 )} d y

将

\frac{y - 1}{y ^{2} ( y ^{2} - 9 )}

用部份分式展开:

- \frac{1}{9 y} + \frac{1}{9 y ^{2}} + \frac{2}{27 ( y + 3 )} + \frac{1}{27 ( y - 3 )}

= 9 \cdot \int - \frac{1}{9 y} + \frac{1}{9 y ^{2}} + \frac{2}{27 ( y + 3 )} + \frac{1}{27 ( y - 3 )} d y

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 9 (- \int \frac{1}{9 y} d y + \int \frac{1}{9 y ^{2}} d y + \int \frac{2}{27 ( y + 3 )} d y + \int \frac{1}{27 ( y - 3 )} d y)

\int \frac{1}{9 y} d y = \frac{1}{9} ln ∣ y ∣

\int \frac{1}{9 y ^{2}} d y = - \frac{1}{9 y}

\int \frac{2}{27 ( y + 3 )} d y = \frac{2}{27} ln ∣ y + 3 ∣

\int \frac{1}{27 ( y - 3 )} d y = \frac{1}{27} ln ∣ y - 3 ∣

= 9 (- \frac{1}{9} ln ∣ y ∣ - \frac{1}{9 y} + \frac{2}{27} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{27} ln ∣ y - 3 ∣)

化简

9 (- \frac{1}{9} ln ∣ y ∣ - \frac{1}{9 y} + \frac{2}{27} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{27} ln ∣ y - 3 ∣) : - ln ∣ y ∣ - \frac{1}{y} + \frac{2}{3} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{3} ln ∣ y - 3 ∣

= - ln ∣ y ∣ - \frac{1}{y} + \frac{2}{3} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{3} ln ∣ y - 3 ∣

解答补常数

= - ln ∣ y ∣ - \frac{1}{y} + \frac{2}{3} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{3} ln ∣ y - 3 ∣ + C