integral of (sec(x))/(1+tan(x))

Lösung

\int \frac{sec ( x )}{1 + tan ( x )} d x

2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sec ( x )}{1 + tan ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{1 - u ^{2} + 2 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{1 - u ^{2} + 2 u} d u

Vervollständige das Quadrat

1 - u^{2} + 2 u : - (u - 1)^{2} + 2

= 2 \cdot \int \frac{1}{- ( u - 1 ) ^{2} + 2} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 2} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( - w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2} (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1}{2}

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{t a n ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1}{2} : 2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1)

= 2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (\frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{tan ( \frac{x}{2} ) - 1}{2} - 1) + C

\int 3 x^{10} - x^{5} + 2 x - 9 d x

\int z (3 z^{2} - 1) d z

\int (- 3 x) cos (2 x) d x

\int y sin (2 y) d y

\int sec^{13} (2 θ) tan^{3} (2 θ) d θ