integral of (x^{-1}+3)^3

Lösung

\int (x^{- 1} + 3)^{3} d x

\frac{( 1 + 3 x ) ^{3}}{x ^{2}} - \frac{3}{2 x ^{2}} - \frac{18}{x} + 27 ln ∣ x ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int (x^{- 1} + 3)^{3} d x

Wende Exponentenregel an:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \int (\frac{1}{x} + 3)^{3} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{( u + 3 ) ^{3}}{u ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{( u + 3 ) ^{3}}{u ^{2}} d u

Wende die partielle Integration an

= - (- \frac{( u + 3 ) ^{3}}{u} - \int - \frac{3 ( u + 3 ) ^{2}}{u} d u)

\int - \frac{3 ( u + 3 ) ^{2}}{u} d u = - 3 (\frac{u ^{2}}{2} + 6 u + 9 ln ∣ u ∣)

= - (- \frac{( u + 3 ) ^{3}}{u} - (- 3 (\frac{u ^{2}}{2} + 6 u + 9 ln ∣ u ∣)))

Setze in

u = \frac{1}{x}

ein

= - (- \frac{( \frac{1}{x} + 3 ) ^{3}}{\frac{1}{x}} - (- 3 (\frac{( \frac{1}{x} ) ^{2}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{x} + 9 ln \frac{1}{x})))

Vereinfache

- (- \frac{( \frac{1}{x} + 3 ) ^{3}}{\frac{1}{x}} - (- 3 (\frac{( \frac{1}{x} ) ^{2}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{x} + 9 ln \frac{1}{x}))) : \frac{( 1 + 3 x ) ^{3}}{x ^{2}} - \frac{3}{2 x ^{2}} - \frac{18}{x} + 27 ln ∣ x ∣

= \frac{( 1 + 3 x ) ^{3}}{x ^{2}} - \frac{3}{2 x ^{2}} - \frac{18}{x} + 27 ln ∣ x ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{( 1 + 3 x ) ^{3}}{x ^{2}} - \frac{3}{2 x ^{2}} - \frac{18}{x} + 27 ln ∣ x ∣ + C

\int sec^{2} (a x) d x

\int + x^{3} ln (5 x) d x

\int \frac{1}{1000} e^{- \frac{x}{1000}} d x

\int 4 x - csc^{2} (x) d x

\int (x^{2} - 1)^{3} d x