integral of (2x)/(1+x^3)

Lösung

\int \frac{2 x}{1 + x ^{3}} d x

2 (- \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (ln 4 x^{2} - 4 x + 4 + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x}{1 + x ^{3}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{x}{1 + x ^{3}} d x

Ermittle den Partialbruch von

\frac{x}{1 + x ^{3}} : - \frac{1}{3 ( x + 1 )} + \frac{x + 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )}

= 2 \cdot \int - \frac{1}{3 ( x + 1 )} + \frac{x + 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int \frac{1}{3 ( x + 1 )} d x + \int \frac{x + 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} d x)

\int \frac{1}{3 ( x + 1 )} d x = \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣

\int \frac{x + 1}{3 ( x ^{2} - x + 1 )} d x = \frac{1}{6} (ln 4 x^{2} - 4 x + 4 + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))

= 2 (- \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (ln 4 x^{2} - 4 x + 4 + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{1}{3} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{6} (ln 4 x^{2} - 4 x + 4 + 23 arctan (\frac{2 x - 1}{3}))) + C

\int \frac{x}{3 x - 1} d x

\int \frac{( 3 x - 1 )}{x ^{2} + 2 x + 2} d x

\int \frac{3 x + 1}{x + 1} d x

\int \frac{- 8 x + 16}{( x ^{2} + 1 ) ( x - 1 )} d x

\int \frac{x [ ln ( 1 + x ) + ln ( 1 - x ) ]}{x ^{2} - 1} d x