integral of sin^7(2x)cos^3(2x)

Lösung

\int sin^{7} (2 x) cos^{3} (2 x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{cos ^{4} ( 2 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{2} - \frac{3 cos ^{8} ( 2 x )}{8} + \frac{cos ^{10} ( 2 x )}{10}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{7} (2 x) cos^{3} (2 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{7} (u) cos^{3} (u) \frac{1}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int sin^{7} (u) cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{3} sin (u) cos^{3} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int - v^{3} (1 - v^{2})^{3} d v

Multipliziere aus

- v^{3} (1 - v^{2})^{3} : - v^{3} + 3 v^{5} - 3 v^{7} + v^{9}

= \frac{1}{2} \cdot \int - v^{3} + 3 v^{5} - 3 v^{7} + v^{9} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int v^{3} d v + \int 3 v^{5} d v - \int 3 v^{7} d v + \int v^{9} d v)

\int v^{3} d v = \frac{v ^{4}}{4}

\int 3 v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{2}

\int 3 v^{7} d v = \frac{3 v ^{8}}{8}

\int v^{9} d v = \frac{v ^{10}}{10}

= \frac{1}{2} (- \frac{v ^{4}}{4} + \frac{v ^{6}}{2} - \frac{3 v ^{8}}{8} + \frac{v ^{10}}{10})

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ^{4} ( 2 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{2} - \frac{3 cos ^{8} ( 2 x )}{8} + \frac{cos ^{10} ( 2 x )}{10})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ^{4} ( 2 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{2} - \frac{3 cos ^{8} ( 2 x )}{8} + \frac{cos ^{10} ( 2 x )}{10}) + C

\int \frac{1}{2 + 9 x ^{2}} d x

\int x cos (6 π x^{2}) d x

\int \frac{x ^{5}}{5} - x^{2} d x

\int x x + 15 d x

\int \frac{5 x ln ( x )}{x ^{2} - 4} d x