integral of sin^7(2x)cos^5(2x)

Lösung

\int sin^{7} (2 x) cos^{5} (2 x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{6} + \frac{3 cos ^{8} ( 2 x )}{8} - \frac{3 cos ^{10} ( 2 x )}{10} + \frac{cos ^{12} ( 2 x )}{12}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{7} (2 x) cos^{5} (2 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{7} (u) cos^{5} (u) \frac{1}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int sin^{7} (u) cos^{5} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{3} sin (u) cos^{5} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int - v^{5} (1 - v^{2})^{3} d v

Multipliziere aus

- v^{5} (1 - v^{2})^{3} : - v^{5} + 3 v^{7} - 3 v^{9} + v^{11}

= \frac{1}{2} \cdot \int - v^{5} + 3 v^{7} - 3 v^{9} + v^{11} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int v^{5} d v + \int 3 v^{7} d v - \int 3 v^{9} d v + \int v^{11} d v)

\int v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{6}

\int 3 v^{7} d v = \frac{3 v ^{8}}{8}

\int 3 v^{9} d v = \frac{3 v ^{10}}{10}

\int v^{11} d v = \frac{v ^{12}}{12}

= \frac{1}{2} (- \frac{v ^{6}}{6} + \frac{3 v ^{8}}{8} - \frac{3 v ^{10}}{10} + \frac{v ^{12}}{12})

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{6} + \frac{3 cos ^{8} ( 2 x )}{8} - \frac{3 cos ^{10} ( 2 x )}{10} + \frac{cos ^{12} ( 2 x )}{12})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{6} + \frac{3 cos ^{8} ( 2 x )}{8} - \frac{3 cos ^{10} ( 2 x )}{10} + \frac{cos ^{12} ( 2 x )}{12}) + C

\int \frac{1}{1 + sec ( 3 x )} d x

\int \frac{1}{cos ( z )} d z

\int x + sin (y) d x

\int \frac{( 3 - x )}{16 + 6 x - x ^{2}} d x

\int \frac{9 x + 15}{x ^{2} + 2 x + 1} d x