integral of x*sin^3(3x)

Lösung

\int x \cdot sin^{3} (3 x) d x

\frac{1}{81} (- 27 x cos (3 x) + 9 x cos^{3} (3 x) + 6 sin (3 x) + sin^{3} (3 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int x sin^{3} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u sin ^{3} ( u )}{9} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int u sin^{3} (u) d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{9} (u (- cos (u) + \frac{1}{3} cos^{3} (u)) - \int - cos (u) + \frac{1}{3} cos^{3} (u) d u)

\int - cos (u) + \frac{1}{3} cos^{3} (u) d u = - \frac{2}{3} sin (u) - \frac{1}{9} sin^{3} (u)

= \frac{1}{9} (u (- cos (u) + \frac{1}{3} cos^{3} (u)) - (- \frac{2}{3} sin (u) - \frac{1}{9} sin^{3} (u)))

Setze in

u = 3 x

ein

= \frac{1}{9} (3 x (- cos (3 x) + \frac{1}{3} cos^{3} (3 x)) - (- \frac{2}{3} sin (3 x) - \frac{1}{9} sin^{3} (3 x)))

Vereinfache

\frac{1}{9} (3 x (- cos (3 x) + \frac{1}{3} cos^{3} (3 x)) - (- \frac{2}{3} sin (3 x) - \frac{1}{9} sin^{3} (3 x))) : \frac{1}{81} (- 27 x cos (3 x) + 9 x cos^{3} (3 x) + 6 sin (3 x) + sin^{3} (3 x))

= \frac{1}{81} (- 27 x cos (3 x) + 9 x cos^{3} (3 x) + 6 sin (3 x) + sin^{3} (3 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{81} (- 27 x cos (3 x) + 9 x cos^{3} (3 x) + 6 sin (3 x) + sin^{3} (3 x)) + C

\int \frac{4 x ^{2} + 4 x + 4}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{9 t ^{2} - 2}{3 t + 1} d t

\int \frac{x}{( x - 1 ) ( x ^{2} + 6 x + 11 )} d x

\int y^{3} 1 + y d y

\int (\frac{5}{x + 2} + \frac{3}{( x + 2 ) ^{2}}) d x