integral of sin(pix)cos(2pix)

Lösung

\int sin (π x) cos (2 π x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{1}{3 π} cos (3 π x) + \frac{1}{π} cos (π x)) + C

Schritte zur Lösung

\int sin (π x) cos (2 π x) d x

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (t) sin (s) = \frac{sin ( s + t ) + sin ( s - t )}{2}

= \int \frac{sin ( π x + 2 π x ) + sin ( π x - 2 π x )}{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int sin (π x + 2 π x) + sin (π x - 2 π x) d x

Vereinfache

sin (π x + 2 π x) + sin (π x - 2 π x) : sin (3 π x) - sin (π x)

= \frac{1}{2} \cdot \int sin (3 π x) - sin (π x) d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int sin (3 π x) d x - \int sin (π x) d x)

\int sin (3 π x) d x = - \frac{1}{3 π} cos (3 π x)

\int sin (π x) d x = - \frac{1}{π} cos (π x)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{3 π} cos (3 π x) - (- \frac{1}{π} cos (π x)))

Vereinfache

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{3 π} cos (3 π x) + \frac{1}{π} cos (π x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{3 π} cos (3 π x) + \frac{1}{π} cos (π x)) + C

\int \frac{( 1 + 3 x )}{x} d x

\int 6 (x - 4)^{5} d x

\int x (1 - x^{4})^{\frac{3}{2}} d x

\int (e^{3 x} + 6)^{3} e^{2 x} d x

\int \frac{( x + 1 )}{4 4} (x - 1) d x