integral of sqrt(324-x^2)

Lösung

\int 324 - x^{2} d x

162 (arcsin (\frac{1}{18} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 324 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 324 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 324 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 324 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 324 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 324 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 324 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{18} x)

ein

= 324 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{18} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x)))

Vereinfache

324 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{18} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x))) : 162 (arcsin (\frac{1}{18} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x)))

= 162 (arcsin (\frac{1}{18} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 162 (arcsin (\frac{1}{18} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x))) + C

\int \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x ^{3} - 2 x ^{2} + x - 2} d x

\int - \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{3}} d x

\int \frac{1}{121 - 4 w ^{2}} d w

\int 2 sin^{3} (x) cos^{4} (x) d x

\int sin (\frac{1}{5} x) d x