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integral of 3x^3sqrt(2-x^2)

Lösung

\int 3 x^{3} 2 - x^{2} d x

- 2 (- x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{5} (- x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int 3 x^{3} 2 - x^{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int x^{3} 2 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 3 \cdot \int 42 sin^{3} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 42 \cdot \int sin^{3} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot 42 \cdot \int (1 - cos^{2} (u)) sin (u) cos^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot 42 \cdot \int - v^{2} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

- v^{2} (1 - v^{2}) : - v^{2} + v^{4}

= 3 \cdot 42 \cdot \int - v^{2} + v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \cdot 42 (- \int v^{2} d v + \int v^{4} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= 3 \cdot 42 (- \frac{v ^{3}}{3} + \frac{v ^{5}}{5})

Ersetze zurück

= 3 \cdot 42 - \frac{cos ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{2} x ) )}{3} + \frac{cos ^{5} ( arcsin ( \frac{1}{2} x ) )}{5}

Vereinfache

3 \cdot 42 - \frac{cos ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{2} x ) )}{3} + \frac{cos ^{5} ( arcsin ( \frac{1}{2} x ) )}{5} : - 2 (- x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{5} (- x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}}

= - 2 (- x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{5} (- x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 2 (- x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + \frac{3}{5} (- x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} + C

\int x^{5} arccos (1 - x^{6}) d x

\int \frac{x}{( x ^{2} - 2 )} d x

\int - 6 cos (t) d t

\int \frac{x}{( 2 x - 1 ) ^{\frac{1}{2}}} d x

\int (1 - 4 x)^{\frac{2}{3}} d x