integral of x^2sqrt(9-4x^2)

Lösung

\int x^{2} 9 - 4 x^{2} d x

\frac{81}{64} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{2}{3} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 9 - 4 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{81}{8} sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{81}{8} \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{81}{8} \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{81}{8} \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{81}{8} \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= \frac{81}{8} \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{2}{3} x)

ein

= \frac{81}{8} \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{2}{3} x)))

Vereinfache

\frac{81}{8} \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{2}{3} x))) : \frac{81}{64} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{2}{3} x)))

= \frac{81}{64} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{2}{3} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{81}{64} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{2}{3} x))) + C

\int (\frac{4 x + 3}{2 x + 5}) d x

\int sin (\frac{1}{7}) x sin (\frac{1}{14}) x d x

\int (\frac{e ^{2 x} + 2 e ^{x} + 1}{1 + e ^{x}}) d x

\int (x + 1)^{2} ln (x) d x

\int x 11 x - 5 d x