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integral of (sqrt(2y^2-7))/(y^2)

Lösung

\int \frac{2 y ^{2} - 7}{y ^{2}} d y

2 ln \frac{1}{7} (2 y^{2} - 7) + \frac{2}{7} y - \frac{2 y ^{2} - 7}{y} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 y ^{2} - 7}{y ^{2}} d y

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{2 u ^{2} - 14}{u ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u ^{2} - 14}{u ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int tan^{2} (v) cos (v) d v

Vereinfache

tan^{2} (v) cos (v) : sin (v) tan (v)

= 2 \cdot \int sin (v) tan (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{1 - cos ^{2} ( v )}{cos ( v )} d v

Multipliziere aus

\frac{1 - cos ^{2} ( v )}{cos ( v )} : \frac{1}{cos ( v )} - cos (v)

= 2 \cdot \int \frac{1}{cos ( v )} - cos (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{1}{cos ( v )} d v - \int cos (v) d v)

\int \frac{1}{cos ( v )} d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int cos (v) d v = sin (v)

= 2 (ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ - sin (v))

Ersetze zurück

= 2 (ln tan (arcsec (\frac{1}{14} \cdot 2 y)) + sec (arcsec (\frac{1}{14} \cdot 2 y)) - sin (arcsec (\frac{1}{14} \cdot 2 y)))

Vereinfache

2 (ln tan (arcsec (\frac{1}{14} \cdot 2 y)) + sec (arcsec (\frac{1}{14} \cdot 2 y)) - sin (arcsec (\frac{1}{14} \cdot 2 y))) : 2 ln \frac{1}{7} (2 y^{2} - 7) + \frac{2}{7} y - \frac{2 y ^{2} - 7}{y}

= 2 ln \frac{1}{7} (2 y^{2} - 7) + \frac{2}{7} y - \frac{2 y ^{2} - 7}{y}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 ln \frac{1}{7} (2 y^{2} - 7) + \frac{2}{7} y - \frac{2 y ^{2} - 7}{y} + C

\int \frac{4 x ^{2} + 1}{x ^{3}} d x

\int (x + 1) \cdot 2 - x d x

\int \frac{1 - 9 x ^{2}}{x ^{2}} d x

\int 7 + x d x

\int \frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{cos ^{2} ( x )} d x