integral of x^{-1/2}(1+sqrt(x))^{-2}

Lösung

\int x^{- \frac{1}{2}} (1 + x)^{- 2} d x

\frac{2 x}{( 1 + x ) ^{2}} + 4 (- \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}}) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{- \frac{1}{2}} (1 + x)^{- 2} d x

Wende die partielle Integration an

= \frac{2 x ^{\frac{1}{2}}}{( 1 + x ) ^{2}} - \int - \frac{2}{( 1 + x ) ^{3}} d x

\int - \frac{2}{( 1 + x ) ^{3}} d x = - 4 (- \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}})

= \frac{2 x ^{\frac{1}{2}}}{( 1 + x ) ^{2}} - (- 4 (- \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}}))

Vereinfache

\frac{2 x ^{\frac{1}{2}}}{( 1 + x ) ^{2}} - (- 4 (- \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}})) : \frac{2 x}{( 1 + x ) ^{2}} + 4 (- \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}})

= \frac{2 x}{( 1 + x ) ^{2}} + 4 (- \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2 x}{( 1 + x ) ^{2}} + 4 (- \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{2 ( 1 + x ) ^{2}}) + C