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integral of bsqrt(1-(x^2)/(a^2))

Lösung

\int b 1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}} d x

\frac{1}{2} ba (arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a}))) + C

Schritte zur Lösung

\int b 1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= b \cdot \int 1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= b \cdot \int a cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= ba \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= ba \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= ba \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= ba \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= ba \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{a} x)

ein

= ba \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} x)))

Vereinfache

ba \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{a} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{a} x))) : \frac{1}{2} ba (arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a})))

= \frac{1}{2} ba (arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ba (arcsin (\frac{x}{a}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{a}))) + C

\int 4 sin (5 x + 7) d x

\int (x y)^{\frac{1}{2}} d x

\int \frac{- 2 x - 3}{x ^{2} + x + 1} d x

\int \frac{1}{x ^{2} - 7 x + 8} d x

\int (sec^{4} (x) - 2 sec^{2} (x) + 1) d x