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integral of 5/(2x^2+5x-1)

Lösung

\int \frac{5}{2 x ^{2} + 5 x - 1} d x

- \frac{5}{33} (ln \frac{4 x + 5}{33} + 1 - ln \frac{4 x + 5}{33} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5}{2 x ^{2} + 5 x - 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{2 x ^{2} + 5 x - 1} d x

Vervollständige das Quadrat

2 x^{2} + 5 x - 1 : 2 (x + \frac{5}{4})^{2} - \frac{33}{8}

= 5 \cdot \int \frac{1}{2 ( x + \frac{5}{4} ) ^{2} - \frac{33}{8}} d x

Wende U-Substitution an

= 5 \cdot \int \frac{8}{16 u ^{2} - 33} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot 8 \cdot \int \frac{1}{16 u ^{2} - 33} d u

Wende integrale Substitution an

= 5 \cdot 8 \cdot \int \frac{1}{4 33 ( v ^{2} - 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{4 33} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{4 33} \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{4 33} (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{4 33} (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{4 33} - \frac{ln \frac{4}{33} ( x + \frac{5}{4} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{4}{33} ( x + \frac{5}{4} ) - 1}{2}

Vereinfache

5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{4 33} - \frac{ln \frac{4}{33} ( x + \frac{5}{4} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{4}{33} ( x + \frac{5}{4} ) - 1}{2} : - \frac{5}{33} (ln \frac{4 x + 5}{33} + 1 - ln \frac{4 x + 5}{33} - 1)

= - \frac{5}{33} (ln \frac{4 x + 5}{33} + 1 - ln \frac{4 x + 5}{33} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{5}{33} (ln \frac{4 x + 5}{33} + 1 - ln \frac{4 x + 5}{33} - 1) + C

\int (1 - a^{2} x^{2})^{\frac{- 3}{2}} d x

\int \frac{1}{x ^{2} - 5 x + 3} d x

\int (e^{x} sin (y) - 2 y sin (x)) d x

\int ln (e^{\frac{1 - s i n ( x )}{3}}) d x

\int 1 + \frac{1}{t} d t