integral of (x^2+3x+8)/(x^3-x^2+3x-3)

解

\int \frac{x ^{2} + 3 x + 8}{x ^{3} - x ^{2} + 3 x - 3} d x

3 ln ∣ x - 1 ∣ - ln \frac{x ^{2}}{3} + 1 + \frac{1}{3} arctan (\frac{x}{3}) + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} + 3 x + 8}{x ^{3} - x ^{2} + 3 x - 3} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{2} + 3 x + 8}{x ^{3} - x ^{2} + 3 x - 3} : \frac{3}{x - 1} + \frac{- 2 x + 1}{x ^{2} + 3}

= \int \frac{3}{x - 1} + \frac{- 2 x + 1}{x ^{2} + 3} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3}{x - 1} d x + \int \frac{- 2 x + 1}{x ^{2} + 3} d x

\int \frac{3}{x - 1} d x = 3 ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{- 2 x + 1}{x ^{2} + 3} d x = - ln \frac{x ^{2}}{3} + 1 + \frac{1}{3} arctan (\frac{x}{3})

= 3 ln ∣ x - 1 ∣ - ln \frac{x ^{2}}{3} + 1 + \frac{1}{3} arctan (\frac{x}{3})

定数を解答に追加する

= 3 ln ∣ x - 1 ∣ - ln \frac{x ^{2}}{3} + 1 + \frac{1}{3} arctan (\frac{x}{3}) + C