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intégrale de 0 a 1 de sqrt(x)sqrt(2-x)

Solution

\int_{0}^{1} x 2 - x d x

\frac{π}{4}

Décimale

0.78539 \dots

étapes des solutions

\int_{0}^{1} x 2 - x d x

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}

x 2 - x = x (2 - x)

= \int_{0}^{1} x (2 - x) d x

Compléter la carré

x (2 - x) : - (x - 1)^{2} + 1

= \int_{0}^{1} - (x - 1)^{2} + 1 d x

Appliquer l'intégration par subsitution

= \int_{- 1}^{0} - u^{2} + 1 d u

Appliquer la subsitution trigonométrique

= \int_{- \frac{π}{2}}^{0} cos^{2} (v) d v

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

= \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + cos (2 v) d v

Appliquer la règle de la somme:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 d v + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} cos (2 v) d v)

\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 d v = \frac{π}{2}

\int_{- \frac{π}{2}}^{0} cos (2 v) d v = 0

= \frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0)

Simplifier

\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 0) : \frac{π}{4}

= \frac{π}{4}

\int_{0}^{\frac{1}{2}} (2 x + 1) e^{x} d x

\int_{3}^{4} \frac{1}{25 - x ^{2}} d x

\int_{1}^{4} - 2 x + 8 d x

\int_{3}^{8} \frac{1}{1 + x - 1} d x

\int_{2}^{5} (x^{2} - 2 x + 3) d x