integral of x/(2(x+1)sqrt(2x+1))

Lösung

\int \frac{x}{2 ( x + 1 ) 2 x + 1} d x

\frac{1}{2} (- 2 arctan (2 x + 1) + 2 x + 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{2 ( x + 1 ) 2 x + 1} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{x}{( x + 1 ) 2 x + 1} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u - 1}{2 u ( u + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u - 1}{u ( u + 1 )} d u

Multipliziere aus

\frac{u - 1}{u ( u + 1 )} : \frac{u}{u ( u + 1 )} - \frac{1}{u ( u + 1 )}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int \frac{u}{u ( u + 1 )} d u - \int \frac{1}{u ( u + 1 )} d u)

\int \frac{u}{u ( u + 1 )} d u = 2 (- arctan (u) + u)

\int \frac{1}{u ( u + 1 )} d u = 2 arctan (u)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (2 (- arctan (u) + u) - 2 arctan (u))

Setze in

u = 2 x + 1

ein

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (2 (- arctan (2 x + 1) + 2 x + 1) - 2 arctan (2 x + 1))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (2 (- arctan (2 x + 1) + 2 x + 1) - 2 arctan (2 x + 1)) : \frac{1}{2} (- 2 arctan (2 x + 1) + 2 x + 1)

= \frac{1}{2} (- 2 arctan (2 x + 1) + 2 x + 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- 2 arctan (2 x + 1) + 2 x + 1) + C

\frac{d}{d x} (\frac{x ^{3}}{3} - \frac{3}{x ^{5}} + 4 π)

\frac{d y}{d x} = \frac{( 4 y lo g _{e} ( x ) )}{x}

t an g e n t - 3 cos (x), at x = \frac{π}{2}

y^{^{''}} - 14 y^{^{'}} + 49 y = e^{8 x} (x^{2} - 9 x - 2)

y^{^{'}} = 1 + e^{y - x + 5}