integral from 0 to 1 of 1/(x^2+2x)

解

\int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{2} + 2 x} d x

は発散する

解答ステップ

\int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{2} + 2 x} d x

平方完成する

x^{2} + 2 x : (x + 1)^{2} - 1

= \int_{0}^{1} \frac{1}{( x + 1 ) ^{2} - 1} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{1}^{2} \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

因数

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int_{1}^{2} \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int_{1}^{2} \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - [\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}]_{1}^{2}

簡素化

- [\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}]_{1}^{2} : - [\frac{1}{2} (ln ∣ u + 1 ∣ - ln ∣ u - 1 ∣)]_{1}^{2}

= - [\frac{1}{2} (ln ∣ u + 1 ∣ - ln ∣ u - 1 ∣)]_{1}^{2}

限度を計算する:

は発散する

= は発散する