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intégrale de 0 a 5 de sqrt(x)sqrt(5-x)

Solution

\int_{0}^{5} x 5 - x d x

\frac{25 π}{8}

Décimale

9.81747 \dots

étapes des solutions

\int_{0}^{5} x 5 - x d x

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}

x 5 - x = x (5 - x)

= \int_{0}^{5} x (5 - x) d x

Développer

x (5 - x) : 5 x - x^{2}

= \int_{0}^{5} 5 x - x^{2} d x

Compléter la carré

5 x - x^{2} : - (x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{25}{4}

= \int_{0}^{5} - (x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{25}{4} d x

Appliquer l'intégration par subsitution

= \int_{- \frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}} \frac{- 4 u ^{2} + 25}{2} d u

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{- \frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}} - 4 u^{2} + 25 d u

Appliquer la subsitution trigonométrique

= \frac{1}{2} \cdot \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{25}{2} cos^{2} (v) d v

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} (v) d v

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + cos (2 v) d v

Appliquer la règle de la somme:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 d v + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos (2 v) d v)

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 d v = π

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos (2 v) d v = 0

= \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{2} (π + 0)

Simplifier

\frac{1}{2} \cdot \frac{25}{2} \cdot \frac{1}{2} (π + 0) : \frac{25 π}{8}

= \frac{25 π}{8}

\int_{1}^{3} (e^{x} ln (x)) d x

\int_{0}^{\frac{π}{6}} tan (2 θ) d θ

\int_{1}^{2} V d V

\int_{x^{2}}^{1} 4 x d x

\int_{- \infty}^{0} e^{- 5 x} d x