integral from 0 to 1 of 7xysqrt(x^2+y^2)

解

\int_{0}^{1} 7 x y x^{2} + y^{2} d y

\frac{7 x ( ( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}} - x ^{3} )}{3}

解答ステップ

\int_{0}^{1} 7 x y x^{2} + y^{2} d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 7 x \cdot \int_{0}^{1} x^{2} + y^{2} y d y

u置換積分法を適用する

= 7 x \cdot \int_{x^{2}}^{x^{2} + 1} u^{2} d u

べき乗則を適用する

= 7 x [\frac{u ^{3}}{3}]_{x^{2}}^{x^{2} + 1}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a,

, 以下を想定

a \geq 0

= 7 x [\frac{u ^{3}}{3}]_{x}^{x^{2} + 1}

限度を計算する:

\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{x ^{3}}{3}

= 7 x \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{x ^{3}}{3}

簡素化

= \frac{7 x ( ( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}} - x ^{3} )}{3}