integral from 0 to 3 of ye^{-xy}

解

\int_{0}^{3} y e^{- x y} d y

\frac{- 3 x e ^{- 3 x} - e ^{- 3 x} + 1}{x ^{2}}

解答ステップ

\int_{0}^{3} y e^{- x y} d y

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{- x \cdot 3} \frac{e ^{u} u}{x ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{x ^{2}} \cdot \int_{0}^{- x \cdot 3} e^{u} u d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{x ^{2}} [e^{u} u - \int e^{u} d u]_{0}^{- 3 x}

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{x ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- 3 x}

簡素化

\frac{1}{x ^{2}} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- 3 x} : \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- 3 x}}{x ^{2}}

= \frac{[ e ^{u} u - e ^{u} ] _{0}^{- 3 x}}{x ^{2}}

限度を計算する:

- 3 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x} + 1

= \frac{- 3 x e ^{- 3 x} - e ^{- 3 x} + 1}{x ^{2}}