integral of e^{-st}cos(2t)

Lösung

\int e^{- s t} cos (2 t) d t

\frac{2 e ^{- s t} sin ( 2 t )}{4 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( 2 t )}{4 + s ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s t} cos (2 t) d t

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - \int - \frac{1}{2} s e^{- s t} sin (2 t) d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - (- \frac{1}{2} s \cdot \int e^{- s t} sin (2 t) d t)

Vereinfache

- \frac{1}{2} s : - \frac{s}{2}

= \frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - (- \frac{s}{2} \cdot \int e^{- s t} sin (2 t) d t)

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - (- \frac{s}{2} (- \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \int \frac{1}{2} s e^{- s t} cos (2 t) d t))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - (- \frac{s}{2} (- \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \frac{1}{2} s \cdot \int e^{- s t} cos (2 t) d t))

Vereinfache

\frac{1}{2} s : \frac{s}{2}

= \frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - (- \frac{s}{2} (- \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \frac{s}{2} \cdot \int e^{- s t} cos (2 t) d t))

Deshalb

\int e^{- s t} cos (2 t) d t = \frac{1}{2} e^{- s t} sin (2 t) - (- \frac{s}{2} (- \frac{1}{2} e^{- s t} cos (2 t) - \frac{s}{2} \cdot \int e^{- s t} cos (2 t) d t))

Isoliere

\int e^{- s t} cos (2 t) d t

= \frac{2 e ^{- s t} sin ( 2 t )}{4 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( 2 t )}{4 + s ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2 e ^{- s t} sin ( 2 t )}{4 + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( 2 t )}{4 + s ^{2}} + C

d er i v a t i v e x^{2} + 3

d er i v a t i v e 2 x^{3} 25 - x^{2}

x \to 0 + lim (1)

x \to 1 lim (\frac{e ^{x}}{x - 1})

\int 15 arctan (x) d x