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受欢迎的微积分 >

integral of (2e^{2x})/(e^{2x)+12e^x+35}

解答

\int \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 12 e ^{x} + 35} d x

解答

ln 12 e^{x} + e^{2 x} + 35 + 6 ln ∣ e^{x} + 7 ∣ - 6 ln ∣ e^{x} + 5 ∣ + C

求解步骤

\int \frac{2 e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 12 e ^{x} + 35} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{e ^{2 x}}{e ^{2 x} + 12 e ^{x} + 35} d x

使用换元积分法

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + 12 u + 35} d u

对

u^{2} + 12 u + 35

配方:

(u + 6)^{2} - 1

= 2 \cdot \int \frac{u}{( u + 6 ) ^{2} - 1} d u

使用换元积分法

= 2 \cdot \int \frac{v - 6}{v ^{2} - 1} d v

乘开

\frac{v - 6}{v ^{2} - 1} : \frac{v}{v ^{2} - 1} - \frac{6}{v ^{2} - 1}

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v - \int \frac{6}{v ^{2} - 1} d v)

\int \frac{v}{v ^{2} - 1} d v = \frac{1}{2} ln v^{2} - 1

\int \frac{6}{v ^{2} - 1} d v = - 6 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)

= 2 (\frac{1}{2} ln v^{2} - 1 - (- 6 (\frac{1}{2} ln ∣ v + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ v - 1 ∣)))

代回

= 2 (\frac{1}{2} ln (e^{x} + 6)^{2} - 1 - (- 6 (\frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 6 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 6 - 1 ∣)))

化简

2 (\frac{1}{2} ln (e^{x} + 6)^{2} - 1 - (- 6 (\frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 6 + 1 ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} + 6 - 1 ∣))) : ln 12 e^{x} + e^{2 x} + 35 + 6 ln ∣ e^{x} + 7 ∣ - 6 ln ∣ e^{x} + 5 ∣

= ln 12 e^{x} + e^{2 x} + 35 + 6 ln ∣ e^{x} + 7 ∣ - 6 ln ∣ e^{x} + 5 ∣

解答补常数

= ln 12 e^{x} + e^{2 x} + 35 + 6 ln ∣ e^{x} + 7 ∣ - 6 ln ∣ e^{x} + 5 ∣ + C

作图

流行的例子

derivative y=((2x^2-1)^3)/((5x-8)^2)

d er i v a t i v e y = \frac{( 2 x ^{2} - 1 ) ^{3}}{( 5 x - 8 ) ^{2}}

\frac{d y}{d x} = 2 y

limit as x approaches 0-of cos(x)

x \to 0 - lim (cos (x))

(\partial)/(\partial x)(2y-x)

\frac{\partial}{\partial x} (2 y - x)

derivative cos((1-e^{8x})/(1+e^{8x)})

d er i v a t i v e cos (\frac{1 - e ^{8 x}}{1 + e ^{8 x}})