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integral of e^{5x}sin(2x)

解答

\int e^{5 x} sin (2 x) d x

解答

- \frac{2 e ^{5 x} cos ( 2 x )}{29} + \frac{5 e ^{5 x} sin ( 2 x )}{29} + C

求解步骤

\int e^{5 x} sin (2 x) d x

使用分布积分法

= - \frac{1}{2} e^{5 x} cos (2 x) - \int - \frac{5}{2} e^{5 x} cos (2 x) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} e^{5 x} cos (2 x) - (- \frac{5}{2} \cdot \int e^{5 x} cos (2 x) d x)

使用分布积分法

= - \frac{1}{2} e^{5 x} cos (2 x) - (- \frac{5}{2} (\frac{1}{2} e^{5 x} sin (2 x) - \int \frac{5}{2} e^{5 x} sin (2 x) d x))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} e^{5 x} cos (2 x) - (- \frac{5}{2} (\frac{1}{2} e^{5 x} sin (2 x) - \frac{5}{2} \cdot \int e^{5 x} sin (2 x) d x))

因此

\int e^{5 x} sin (2 x) d x = - \frac{1}{2} e^{5 x} cos (2 x) - (- \frac{5}{2} (\frac{1}{2} e^{5 x} sin (2 x) - \frac{5}{2} \cdot \int e^{5 x} sin (2 x) d x))

整理

\int e^{5 x} sin (2 x) d x

= - \frac{2 e ^{5 x} cos ( 2 x )}{29} + \frac{5 e ^{5 x} sin ( 2 x )}{29}

解答补常数

= - \frac{2 e ^{5 x} cos ( 2 x )}{29} + \frac{5 e ^{5 x} sin ( 2 x )}{29} + C

作图

流行的例子

integral of x/(x(x^2+1))

\int \frac{x}{x ( x ^{2} + 1 )} d x

derivative (e^x)/(7x^2)

d er i v a t i v e \frac{e ^{x}}{7 x ^{2}}

(\partial)/(\partial x)((x+y)(2x+y)^2)

\frac{\partial}{\partial x} ((x + y) (2 x + y)^{2})

limit as x approaches+0 of (e^{-1x}-1)/x

x \to + 0 lim (\frac{e ^{- 1 x} - 1}{x})

derivative y=x^{0.95}

d er i v a t i v e y = x^{0.95}