integral of (3x^2+x+4)/(x^3+x)

解

\int \frac{3 x ^{2} + x + 4}{x ^{3} + x} d x

4 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + arctan (x) + C

解答ステップ

\int \frac{3 x ^{2} + x + 4}{x ^{3} + x} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{3 x ^{2} + x + 4}{x ^{3} + x} : \frac{4}{x} + \frac{- x + 1}{x ^{2} + 1}

= \int \frac{4}{x} + \frac{- x + 1}{x ^{2} + 1} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{4}{x} d x + \int \frac{- x + 1}{x ^{2} + 1} d x

\int \frac{4}{x} d x = 4 ln ∣ x ∣

\int \frac{- x + 1}{x ^{2} + 1} d x = - \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + arctan (x)

= 4 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + arctan (x)

定数を解答に追加する

= 4 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + arctan (x) + C