интеграл от 2x^2e^{2x}

Решение

\int 2 x^{2} e^{2 x} d x

e^{2 x} x^{2} - e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

Шаги решения

\int 2 x^{2} e^{2 x} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int x^{2} e^{2 x} d x

Применить интегрирование по частям

= 2 (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \int e^{2 x} x d x)

\int e^{2 x} x d x = \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})

= 2 (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}))

Упростите

2 (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})) : e^{2 x} x^{2} - e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x}

= e^{2 x} x^{2} - e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x}

Добавить константу к решению

= e^{2 x} x^{2} - e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C