integral of (sin(x))/(1+cos^2(x))

Lösung

\int \frac{sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{sin ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + 2} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2 u}{u ^{4} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{4} + 1} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (v)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) : arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

= arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) + C